BAB berlaku berbagai pandangan, prinsip, dan kaedah yang sangat

BAB 6

1.   
PENDAHULUAN

We Will Write a Custom Essay Specifically
For You For Only $13.90/page!


order now

Fisika kuantum telah berhasil menerangkan spektrum garis
atom hidrogen, dan menunjukkan bahwa pada gejala fisika di tingkat atom dan sub
atom berlaku berbagai pandangan, prinsip, dan kaedah yang sangat berbeda dengan
apa yang berlaku untuk sistem-sistem fisika makro. Teori kuantum lama masih
sangat bersifat khusus dan ternyata tidak dapat dipergunakan untuk gejala-gejala
non-periodik pada tingkat atom. Sehingga diperlukan suatu teori mekanika kuantum
yang baru, yang lebih umum sifatnya dan juga lebih komprehenship.

Sampai pada tahun 1926 permasalah fisika masih berkaitan
dengan bagaimana mendapatkan suatu persamaan gerak untuk suatu sistem fisika
pada tingkat atomik maupun sub atomik. Kita berbicara tentang persamaan, karena
pada akhirnya hukum-hukum dan kaidah fisika dirumuskan dalam bentuk matematika,
seperti persamaan Maxwell, persamaan Bernoulli, dan lain-lain. Benar tidaknya
persamaan mekanika kuantum tersebut didasarkan pada kesesuaian hasil
teoritiknya dengan hasil pengamatan, karena fisika adalah ilmu yang bersifat
kuantitatif.

Ada beberapa hal penting yang harus ada dalam teori
mekanika baru, yang sebagian besar merupakan hal-hal mendasar dari teori
kuantum lama. Hal-hal tersebut adalah sebagai berikut:

1.    Konsep klasik tentang lintasan tidak lagi berlaku untuk suatu sistem fisika
kuantum, yang berlaku hanyalah suatu deskripsi statistik tentang kebolehjadian
kedudukan partikel di suatu titik dalam ruang (prinsip Heisenberg),

2.    Dualisme partikel-gelombang,

3.    Apabila partikel dilambangkan sebagai suatu gelombang, maka untuk gelombang
tersebut berlaku prinsip superposisi gelombang, yaitu apabila

 dan

 merupakan solusi persamaan gelombang, maka

 juga
merupaka solusi (dimana

dan

 adalah tetapan).

4.    Postulat de Broglie dan teori kuantum Einstein

 dan

5.    Hukum kekelan energi (kasus non-relativistik)

dengan

 adalah momentum linier,

 adalah massa partikel dan

 adalah energi potensial  

6.    Untuk

 yang konstan,

 dan

 harus pula konstan dan partikel dinyatakan
sebagai gelombang berjalan yang monokromatik (de Broglie).

Jadi dalam mencari persamaan yang baru ini, hal-hal diatas merupakan hal penting
yang harus terlingkupi.

Dalam pembahasan yang pada akhirnya berpusat pada
persamaan gelombang Schondinger, ditempuh jalan yang lebih menekankan pada
kerangka logis dari persamaan tersebut, bukan suatu jalan analitik. Yang
terpenting adalah penghayatan tentang kerangka konseptualnya, dengan sedikit
mengenyampingkan urutan langkah-langkah yang formal dan lebih analitik.
Formalisme yang lebih dalam akan mudah diikuti apabila kerangka konseptualnya
telah dipahami. Jadi harus selalu diingat bahwa apa yang disajikan berikut
bukanlah penurunan persamaan gelombang Schrodinger.

2.   
PERSAMAAN GELOMBANG SCHRODINGER

Pendekatan yang dilakukan oleh Schrodinger adalah melalui
penggambaran gelombang, terutama karena perilaku gerak partikel dapat dimisalkan
sebagai suatu gelombang sebagaimana yang dihipotesiskan oleh de Broglie.

Hubungan antara gelombang cahaya dan gelombang partikel dinyatakan
sebagai

. Pengetahuan mengenai berbagai gejala
gelombang sudah dikenal secara luas sebelumnya, termasuk penggambarannya dalam
bentuk persamaan diferensial (parsial) dan solusinya. Pengetahuan inilah yang kemudian
dimanfaatkan.

Gelombang cahaya dapat dipresentasikan sebagai berikut

(6.1)

dengan

 adalah kuat medan
listrik,

 adalah frekuensi sudut
dan

 adalah bilangan
gelombang yaitu

(6.2)

Persamaan (6.1) adalah persamaan gelombang cahaya untuk perambatan dalam
satu dimensi. Kita ambil terlebih dahulu gerak suatu elektron dalam ruang
dengan potensial

. Diketahui bahwa sebagai gerak
gelombang, penggambarannya adalah sebagai gelombang berjalan yang monokromatik.

Ambil kasus  satu
dimensi yang dapat dijelaskan oleh persamaan berikut

(6.3)

 belum diketahui maknanya, tetapi

 dan

 dapat
dikaitkan dengan teori Einstein dan Postulat de Broglie. Kedua besaran tersebut
dapat diperoleh melalui

(6.4)

Sehingga

 

(6.5)

dan

(6.6)

Subtitusi Persamaan (6.5) dan (6.6) ke Persamaan (6.3) menghasilkan

(6.7)

dengan

 adalah momentum antar
elektron dan

 adalah massa elektron.

Misalkan bahwa bentuk persamaan diferensialnya adalah

(6.8)

maka akan diperoleh

(6.9)

sehingga persamaan akhirnya berbentuk

(6.10)

Hasil tersebut tidak digunakan karena ada variabel dinamik muncul dalam
persamaan diferensialnya yaitu

. Yang lebih mudah ditangani adalah
bentuk persamaan dimana di dalamnya hanya muncul tetapan-tetapan fisik,
sedangkan variabel dinamik terkandung dalam fungsi gelombangnya. Oleh karena
itu dicari alternatif lain, melalui persamaan diferensial yang berbentuk

(6.11)

apabila dicoba maka,

 bukan merupakan solusi, namun yang merupakan solusinya adalah

(6.12)

Subtitusi Persamaa (6.11) ke (6.10) memberikan

(6.13)

Dengan demikian diperoleh persamaan diferensial

(6.14)

Solusi dari persamaan ini adalah Persamaan (6.12). Hasil penting mengenai
apa yang baru diperoleh adalah:

a.    persamaan tak mengandung variabel dinamik, dan

b.    fungsi
gelombang berbentuk kompleks.

Hasil yang diperoleh dapat dikembangkan dalam model
3 dimensi, sehingga menghasilkan

 

(6.15)

Schrodinger mengatakan bahwa persamaan gelombang kuantum
adalah persamaan yang berkaitan dengan operator-operator, dan persamaan gerak
klasik merupakan persamaan yang berkaitan dengan variabel dinamik. Persamaan
operator dapat diperoleh dari persamaan klasik dengan menggunakan postulat
Schrodinger. Prosedur tersebut adalah sebagai berikut:

a.    Tulislah persamaan gerak klasik sebagai hubungan antara energi

, momentum linear

, dan potensial 

.

b.    Ubahlah persamaan  klasik diatas
menjadi persamaan operator dengan mengganti

 dengan

,

 dengan

 dan

dengan

.

c.    Operator-operator dalam persamaan itu kemudian bekerja pada fungsi
gelombang

, dan kemudian persamaan gelombang
tersebut diselesaikan.

Selanjutnya, tinjau partikel yang mengalami gaya

 yang dapat dituliskan sebagai gradien dari
energi potensial

(6.16)

Oleh karena itu, energi total partikel E
dapat diungkapkan sebagai

(6.17)

Kemudian persamaan gerak kuantum partikel di dalam potensial

 diberikan oleh

(6.18)

Persamaan (6.18)
ini dikenal sebagai persamaan gelombang Schrodinger untuk partikel di dalam
potensial

. Dalam banyak hal, sistem fisis dapat didekati dengan model
satu dimensi. Persamaan Schrodinger satu dimensi berbentuk

(6.19)

Secara
umum, karena energi

 dapat dinyatakan dalam
Hamiltonian

(6.20)

maka
Persamaan (6.18) dapat ditulis menjadi

(6.21)

Hamiltonian

 sekarang berperan
sebagai operator

(6.22)

yang
bekerja pada fungsi gelombang

. Dalam persamaan Schrodinger, satu-satunya besaran yang
membedakan satu sistem dengan sistem lainnya adalah

, yaitu ungkapan matematis energi potensial sistem.

Terdapat
beberapa aspek penting pada struktur matematis persamaan Schrodinger, yaitu:

a.   
Adanya bilangan imajiner i
dalam persamaan Schrodinger menandakan bahwa persamaan Schrodinger adalah
persamaan diferensial dalam ruang kompleks. Hal ini berarti dalam menyelesaikan
persamaan Schrodinger akan dihasilkan solusi berupa fungsi kompleks dengan
variabel real (posisi dan waktu). Bilangan imajiner ini menyebabkan fungsi
gelombang tidak memiliki makna fisik secara langsung.

b.   
Persamaan Schrodinger merupakan persamaan diferensial linear,
baik terhadap ruang maupun waktu. Jika fungsi gelombang

 dan

 merupakan solusi persamaan Schrodinger, maka

 juga
merupaka solusi (dimana

dan

 adalah tetapan). Untuk membuktikan pernyataan
tersebut, substitusikan

 ke Persamaan (6.19) sehingga diperoleh

Hasil di atas menunjukkan bahwa

 benar-benar merupakan
penyelesaian persamaan Schrodinger untuk sistem yang sama.

c.   
Persamaan Schrodinger merupakan persamaan diferensial orde satu terhadap
waktu t. Kenyataan ini menunjukkan
bahwa perubahan fungsi gelombang terhadap waktu bersifat deterministik. Artinya
jika kita mengetahui fungsi gelombang pada t
tertentu, misalnya t = t0, maka fungsi gelombang pada
t berikutnya dapat diketahui secara pasti.

3.   
MAKNA FUNGSI GELOMBANG

Dalam persoalan yang sesungguhnya Hamiltonian suatu
sistem diketahui atau diberikan. Mengacu pada persamaan Schrodinger yang
merupakan persamaan diferensial, jelas persoalannya sekarang adalah mencari
solusi

 dari persamaan tersebut. Jadi, fungsi gelombang

 merupakan kuantitas teoritis fundamental di
dalam mekanika kuantum. Meskipun demikian, seandainya fungsi gelombang

 sudah diperoleh, apa makna dari fungsi
gelombang tersebut.

Jawaban permasalahan di atas diberikan oleh Max Born pada
tahun 1926. Max Born mempostulatkan
hubungan antara rapat probabilitas

 dan fungsi gelombang


yaitu apabila

 dipandang sebagai waktu dimana sebuah partikel menempati posisinya dengan
fungsi gelombang

, maka besarnya probabilitas

, dimana partikel ditemukan di

 dan

 adalah

.

Dari pernyataan di atas, dapat dirumuskan persamaan berikut

(6.23)

yang merupakan kerapatan probabilitas. Secara lebih spesifik persamaan di atas
dapat dituliskan menjadi

(6.24)

Persamaan (6.24) menyatakan kemungkinan untuk mendapatkan partikel yang
dideskripsikan oleh

 yang berada dalam
volume

 di sekitar posisi

 pada saat t. Untuk kasus satu dimensi, probabilitas
dapat ditulis menjadi

(6.25)

yang menyatakan probabilitas partikel yang dideskripsikan oleh fungsi
gelombang

, berada di antara

 dan

 pada saat t.

Statistik menuntut bahwa probabilitas menemukan partikel
tersebut pada suatu saat tertentu dalam ruang jumlahnya adalah 1 (partikel
memang ada di dalam ruang), sehingga

(6.26)

Fungsi gelombang yang memenuhi syarat Persamaan (6.26) dikatakan sebagai
fungsi gelombang ternormalisasi.

4.   
EKSPEKTASI

Batasan mengenai rapat probabilitas

 memungkinkan
untuk memperkirakan (dalam artian statistik) harga rata-rata kedudukan partikel
pada satu saat tertentu. Harga rata-rata tersebut dinamakan nilai harap, atau nilai
ekspektasi, yang ditulis sebagai

. Jadi

(6.27)

atau dalam notasi mekanika kuantum, menjadi

(6.28)

Menurut pengertian statistik, persamaan di atas untuk

 tidak ternormalisasi dapat ditulis kembali
menjadi

(6.29)

Dengan normalisasi fungsi gelombang

, bentuk ini akan berubah menjadi bentuk
sebelumnya (tanpa penyebut). Dengan demikian jika ditentukan harga ekspektasi
suatu fungsi dari

, misalkan

, maka dapat diperoleh melalui

(6.30)

Variable

 pada
Persamaan (6.28) adalah suatu variabel dinamik menurut kerangka mekanika
klasik. Besaran

 merupakan variabel dinamik apabila berada dalam fungsi

, tetapi merupakan operator apabila
berada antara

. Integrasinya dilakukan terhadap variabel dinamik

.

Untuk

, operator

 yang bekerja pada

 sama efeknya dengan mengalikan

 dengan fungsi

 menjadi

. Perbedaan antara memandang

 sebagai operator dan sebagai variabel dinamis
tidak menghasilkan

 yang berbeda.

Keadaan sangat berbeda dengan momentum linear,
variabel dinamiknya adalah

 dan operatornya adalah

. Persamaan

 dapat dicari dengan
menggunakan hubungan pada Persamaan (6.30), maka diperoleh

(6.31)

Hal ini dapat dilanjutkan dengan menghitung

, karena diketahui bahwa menurut postulat
Schrodinger, operator untuk

 adalah

, sehingga

(6.32)

Dalam ungkapan di atas kedudukan operator tidak dapat ditukar, mengubah
posisi operator memberikan makna yang berlainan pada ungkapan dalam tanda
integral, kecuali untuk operator x.

Secara umum dapat diberikan batasan tentang harga
ekspektasi untuk suatu fungsi

, yaitu apabila

 merupakan suatu besaran dinamis yang bergantung pada variabel dinamis

 dan dipergunakan untuk menguraikan gerak suatu
partikel yang berkaitan dengan fungsi gelombang

, maka harga ekspektasi diberikan
oleh

(6.33)

dengan

 diperoleh dari

 dengan menggantikan semua

 dengan

. Jika hal tersebut diterapkan pada ungkapan energi, maka memberikan harga ekspektasi energi
yaitu

(6.34)

Untuk partikel yang bergerak dalam ruang 3 dimensi, persamaan di atas
menjadi

(6.35)

Persamaan di atas dapat diungkapkan dalam koordinat kartesian, dimana

 menjadi

 atau dalam koordinat polar, dimana

 menjadi

. Semuanya dengan batas-batas
integrasi yang sesuai.

5.   
PERSAMAAN SCHRODINGER BEBAS WAKTU

Tidak mungkin kita dapat menurunkan persamaan Schrodinger
dengan cara fisika klasik. Jika pertama-tama kita mulai dengan mempertimbangkan
sebuah partikel dengan massa

 bergerak dalam potensial

 kita dapat mengekspresikan persamaan gerak
kuantum partikel sebagai

(6.36)

Persamaan (6.36) diketahui sebagai persamaan Schrodinger bergantung
waktu.

Jika diandaikan terlebih dahulu bahwa variabel dapat
dipisahkan, yaitu bahwa

(6.37)

maka subtitusi Persamaan (6.37) ke Persamaan (6.36) akan memberikan

(6.38)

Perhatikan ruas kiri dan kanan dari persamaan di atas. Bagian kiri hanya
merupakan fungsi dari variabel t,
sedangkan ruas kanan hanya fungsi dari variabel

. Persamaan di atas hanya benar untuk
setiap harga t dan setiap harga

, jika dan hanya jika masing-masing ruas itu merupakan suatu
tetapan. Kita misalkan tetapan tersebut adalah

. Maka untuk penyelesaian ruas kanan

(6.39)

dan

(6.40)

Selesaikanlah terlebih dahulu persamaan pertama

 

sehingga diperoleh

(6.41)

Apabila solusi persamaan kedua adalah

, maka dari Persamaan (6.37)
diperoleh

(6.42)

Persamaan
ini merupakan pemecahan potensial

tidak bergantung waktu. Untuk
memperoleh makna dari

, maka Persamaan (6.40) tersebut dapat ditulis
dalam bentuk operatornya menjadi

 

(6.43)

Dimana

 adalah operator yang dapat diperoleh dari
fungsi Hamiltonian pada Persamaan (6.22). Sehingga dapat ditulis menjadi

(6.44)

Persamaan (6.44) ini disebut sebagai persamaan
karakteristik atau persamaan niali eigen dengan

 sebagai fungsi eigen dan

 adalah operator diferensial dari energi.

 adalah nilai eigen dari operator

, karena itu

 disebut
juga sebagai energi eigen dan ditafsirkan sebagai energi partikel.

Sebagai ilustrasi, pada tahap ini fungsi
gelombang yang diketahui hanyalah untuk arah yang bergerak dalam ruang bebas (

). Misalkan partikel bergerak dalam arah
satu dimensi saja, dalam hal ini dipilih arah

. Operator H dinyatakan oleh

Fungsi eigen untuk operator di atas mempunyai bentuk umum

dengan

 adalah sebuah tetapan. Perkalian antara
operator

 dan 

 memberikan

Dengan menggunakan hubungan

 maka
nilai eigen energi memenuhi

 dimana diperoleh persamaan gelombang
total

Karena

 dan

, maka diperoleh

Jika kita ambil perkalian

, maka

. Dapat disimpulkan bahwa

 tidak
dapat dinormalisasikan. Fungsi gelombang berjalan monokromatik seperti yang
dibahas  di atas tersebar diseluruh
daerah

, dari

 ke

, artinya tempat kedudukannya dalam
ruang tidak dapat ditentukan. Hal ini memang sesuai dengan prinsip ketakpastian
Heisenberg. Sebuah gelombang monokromatik mempunyai harga

 yang tunggal, berarti hanya ada satu pula
harga

 yang
sesuai dengan

, oleh karena itu

 dan sebagai konsekuensinya

.

Untuk arah satu dimensi, persamaan
Schrodinger bebas waktu dapat dirumuskan menjadi

(6.45)

Contoh 6.1

Dengan
menggabungkan postulat de Broglie dan Schrodinger dan menggunakan fungsi
gelombang partikel bebas

, turunkan persmaan
Schrodinger satu dimensi bergantung waktu.
Penyelesaian:
Dengan menggabungkan
postulat schrodinger (

 dengan postulat de Broglie (

,

) diperoleh

Kuantitas-kuantitas

 dan

 pada persamaan ini dapat diganti
dengan turunan parsial fungsi gelombang partikel bebas, yaitu dengan

   ?  

   ? 

Substitusi ke dalam persamaan di atas, sehingga diperoleh persamaan
Schrodinger satu dimensi bergantung waktu, yaitu

 

Contoh 6.2

Anggap sebuah partikel dalam keadaan diam memeiliki persamaan keadaan
yang merupakan kombinasi linier dari dua keadaan stasioner

Diaman konstanta

 dan keadaan

 adalah real. Tentukan fungsi gelombang

 pada waktu t, tentukan juga rapat probabilitasnya.
Penyelesaian:
Untuk
fungsi gelombang bergantung waktu adalah

Dimana

 dan

 adalah energi yang berkaitan
dengan

 dan

.
Densitas
probabilitasnya adalah

6.   
SIFAT DAN PRILAKU SOLUSI PERSAMAAN GELOMBANG SCHRODINGER BEBAS WAKTU

Melalui pembahasan mengenai persamaan gelombang
Schrodinger dalam memecahkan persoalan fisika tingkat atom dan sub atom yang telah kita lakukan, kita baru berada dalam tahap pengembangan konsep dan proses teoritis. Proses teoritis ini masih panjang dan melalui lika-liku baru yang sangat berbeda
dengan yang telah dikenal dalam mekanika dan fisika klasik. Untuk langkah selanjutnya dibahas sifat dan perilaku umum solusi persamaan gelombang Schrodinger bebas waktu. Kita belum
dapat membahas solusinya karena hal tersebut masih bergantung pada potensial

.

Yang penting pada pembahasan kali ini adalah pemecahan solusi umum dari permasalahan nilai eigen Schrodinger yang ditunjukkan
pada Persamaan (6.43)  dan (6.44). Secara alamiah pemecahan permasalahan nilai eigen memberikan harga

 (energi total) yang terkuantisasi. Hal ini sangat penting karena justru kuantisasi ini yang tidak muncul
pada persamaan gerak klasik. Kuantisasi yang
disebutkan di
atas terjadi untuk

 dengan bentuk-bentuk tertentu saja, atau dengan
kata lain untuk

 yang mempunyai sifat dan perilaku tertentu saja. Solusi dari

 yang demikian itu merupakan solusi yang dapat diterima.

Untuk memudahkan maka dalam pembahasan
selanjutnya akan digunakan satu dimensi saja, yaitu x. Berdasarkan hal
tersebut, maka fungsi gelombang dapat dinyatakan sebagai

. Agar solusi dari persamaan gelombang

 dapat dterima, maka

 harus memenuhi sifat-sifat berikut:

a.   
Kontinuitas: Solusi dari persamaan gelombang

 dan turunan pertamanya

 harus kontinyu untuk semua nilai

.

b.   
Dapat dinormalisasi: Solusi dari
persamaan gelombang

 harus memiliki kuadrat yang dapat
diintegralkan. Kuadrat dari persamaan gelombang dalam seluruh ruang harus
konstanta yang berhingga sehingga fungsi gelombangnya dapat dinormalisasi untuk
memberikan

.

c.   
Linieritas: Karena linieritas dari persamaan gelombang

, jika diberikan dua solusi independen

 dan

, kita dapat membuat solusi lain dengan
mengambil superposisi yang sesuai dari kedua solusi tersebut

, dimana

 untuk memastikan normalisasi.

         Fungsi

 yang memenuhi syarat di atas merupakan fungsi yang berkelakuan baik (well-behaved function). Apabila fungsinya bersifat demikian maka
diharapkan bahwa besaran (variabel dinamis) yang ditentukan berdasarkan fungsi
itu, juga berkelakuan baik, yaitu berhingga dan berharga tunggal. Tentunya dapat dipahami bahwa untuk sistem fisika tingkat atomik juga harus
memiliki besaran momentum linier, momentum sudut dan energi yang berharga tunggal dan berhingga.

   Terdapat beberapa alasan yang digunakan untuk mempersyaratkan
sifat-sifat di atas pada

. Perhatikan ungkapan berikut

atau

Persamaan
di atas tentunya harus berharga tunggal dan berhingga, oleh
karena itu maka

 dan

 harus pula berharga tunggal dan
berhingga untuk seluruh interval x. Kemudian sebagai konsekuensi agar

 berhingga untuk seluruh interval x, maka

 harus kontinyu.

Perhatikanlah persamaan Schrodinger bebas waktu pada
Persamaan (6.45). Persamaan tersebut dapat pula ditulis sebagai

(6.46)

Apabila dalam persamaan diatas

,

 maupun

 berhingga, maka tentunya

 juga berhingga. Oleh karena itu

 harus kontinyu. Jadi persyaratan bahwa

 merupakan fungsi berkelakuan baik datang
sebagai syarat-syarat keharusan fisika, agar ungkapan matematik yang
dipergunakan untuk menggambarkan situasi tersebut bernilai fisika. Dari ungkapan persamaan gelombang Schrodinger
bebas-waktu
pada Persamaan (6.46), terlihat bahwa sifat
fungsi

 ditentukan oleh nilai

  maupun nilai

.

Jika dianggap kita mempunyai fungsi

, maka ada informasi yang dapat ditarik
tentang perilaku

 apabila diketahui nilai

, yaitu bahwa jika

 > 0 , maka kurva

 cekung ke atas

  0

> 0

 

Dari pembahasan yang telah dilakukan, telah diketahui postulat
Schrodinger yang merupakan semacam prosedur dan resep tentang cara memperoleh
persamaan gerak pada tingkat atom dari persamaan gerak yang klasik. Dalam
mencari persamaan gerak yang berlaku pada tingkat atom, telah dimasukkan pula
teori kuantum lama yang meliputi, postulat de Broglie, teori kuantum Einstein,
prinsip ketakpastian Heisenberg, dan hal-hal lain yang berkaitan. Apabila pada
kasus klasik, apa yang dipresentasikan oleh fungsi gelombang telah diketahui
dari awal, namun tidaklah demikian halnya dengan fungsi gelombang yang muncul
dalam persamaan gelombang Schrodinger. Kemudian diinterpretasikan (dipostulatkan)
oleh Born bahwa fungsi gelombang berkaitan dengan rapat probabilitas.

 

SOAL LATIHAN

1.   
Tunjukan bahwa meskipun

 pada umumnya adalah fungsi kompleks, maka
hasil perkalian

 dan

 selalu menghasilkan fungsi real.

2.   
Verifikasi bahwa fungsi eigen

 adalah solusi persamaan Schrodinger tidak
bergantung waktu.

3.   
Fungsi gelombang satu partikel diberikan
oleh

dimana

 dan

 adalah konstanta.

(a)  Tentukan konstanta C dalam

 jika fungsi gelombang ternormalisasi.

(b)  Tentukan probabilitas partikel untuk ditemukan pada interval

.

4.   
Fungsi gelombang satu partikel yang
bergerak sepanjang sumbu

 diberikan oleh

(c)  Tentukan konstanta C jika fungsi
gelombang ternormalisasi

(d)  Jika

, hitung kemungkinan untuk mendapatkan
partikel berada di sebelah kanan titik

.

5.   
Jika diberikan fungsi gelombang

, dimana

 adalah positif.

(a)  Tentukan apakah ini adalah fungsi gelombang Schrodinger tidak bergantung
waktu yang valid untuk partikel bebas dalam keadaan stasioner.

(b)  Tentukan energi yang berkaitan dengan fungsi gelombang ini.